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Montrer que, pour tout $\lambda \in \Rr$, on a $$(\vec{QP} + \lambda \vec{QR})^2 = \vec{QP}^2 + 2 \lambda \vec{QP}\cdot\vec{QR} + \lambda^2 \vec{QR}^2.$$

En considérant le discriminant du polynôme (en la variable $\lambda$) de droite dans l’égalité précédente, montrer que $$\left\lvert\vec{QP}\cdot\vec{QR}\right\rvert \leq QP \times QR.$$

Montrer que $$\vec{PR}^2 = \vec{QP}^2 - 2 \vec{QP}\cdot\vec{QR} + \vec{QR}^2.$$

En déduire que $$PR \leq PQ + QR.$$

Montrer que $PR = PQ + QR$ si et seulement si $Q \in [PR]$.

On considère maintenant quatre points $P$, $Q$, $R$ et $S$. Montrer que $$PS \leq PQ + QR + RS$$ et caractériser les configurations de quatre points $P$, $Q$, $R$ et $S$ qui vérifient l’égalité $PS = PQ + QR + RS$.