Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. Dans cet exercice, on notera \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Montrer que, pour tout \(\lambda \in \Rr\), on a \[(\vec{QP} + \lambda \vec{QR})^2 = \vec{QP}^2 + 2 \lambda \vec{QP}\cdot\vec{QR} + \lambda^2 \vec{QR}^2.\]
En considérant le discriminant du polynôme (en la variable \(\lambda\)) de droite dans l’égalité précédente, montrer que \[\left\lvert\vec{QP}\cdot\vec{QR}\right\rvert \leq QP \times QR.\]
Montrer que \[\vec{PR}^2 = \vec{QP}^2 - 2 \vec{QP}\cdot\vec{QR} + \vec{QR}^2.\]
En déduire que \[PR \leq PQ + QR.\]
Montrer que \(PR = PQ + QR\) si et seulement si \(Q \in [PR]\).
On considère maintenant quatre points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\). Montrer que \[PS \leq PQ + QR + RS\] et caractériser les configurations de quatre points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\) qui vérifient l’égalité \(PS = PQ + QR + RS\).