Soit \(\alpha\) un nombre réel, \(\alpha >0\).
I
Pour tout \(z\) dans \(\C\) et tout \(t\) dans \({\Rr}\), on pose \[f(z,t)={t^{\alpha -1}\over e^t-z}.\]
1
On note \([1,+\infty\mathclose[=\{x\in{\Rr}\vert \ x\ge 1\}\) et \(\Omega =\C\setminus [1,+\infty\mathclose[\). Soit \(K\) un compact inclus dans \(\Omega\). Démontrer brièvement qu’il existe un réel \(c\), \(c>0\), tel que l’on ait \(\inf_{z\in K}\inf_{x\in [1,+\infty\mathclose[} \vert x-z\vert \ge c\).
2
Montrer que la fonction \(F\) définie par \[F(z)=\int_0^{+\infty}f(z,t)\ dt\] est holomorphe dans \(\Omega\).