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Soit $P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients complexes sans zéro commun et soit $z_1, \dots, z_k \in \Cc$ les zéros de $Q$ (ce qui implique que le degré de $Q$ est supérieur ou égal à $k$ ). On définit la fonction $f:\Cc \setminus \{z_1, \dots, z_k\} \to \Cc$ par $f(z) = P(z)/Q(z)$ .

Démontrer qu’il existe une fonction continue $g: \Cc_\infty \to \Cc_\infty$ telle que $\forall z\in \Cc\setminus\{z_1, \dots, z_k\}$ : $g(z) = f(z)$ . Quelle est la valeur de $g$ en un point $z_i$ ? Quelle est la valeur de $g$ en $\infty$ ? (N’oubliez pas de démontrer que la fonction $g$ que vous définissez est continue.)

Le résultat reste-t-il vrai si $P$ et $Q$ ont des zéros communs? Si non, donner un contre exemple ; si oui, esquisser votre raisonnement.

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