Soit \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients complexes sans zéro commun et soit \(z_1, \dots, z_k \in \Cc\) les zéros de \(Q\) (ce qui implique que le degré de \(Q\) est supérieur ou égal à \(k\)). On définit la fonction \(f:\Cc \setminus \{z_1, \dots, z_k\} \to \Cc\) par \(f(z) = P(z)/Q(z)\).
Démontrer qu’il existe une fonction continue \(g: \Cc_\infty \to \Cc_\infty\) telle que \(\forall z\in \Cc\setminus\{z_1, \dots, z_k\}\) : \(g(z) = f(z)\). Quelle est la valeur de \(g\) en un point \(z_i\) ? Quelle est la valeur de \(g\) en \(\infty\) ? (N’oubliez pas de démontrer que la fonction \(g\) que vous définissez est continue.)
Le résultat reste-t-il vrai si \(P\) et \(Q\) ont des zéros communs? Si non, donner un contre exemple ; si oui, esquisser votre raisonnement.