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En énonçant avec précision les différentes formes du principe du maximum utilisées, démontrer le lemme de Schwarz.

Application : Soit $F$ une fonction holomorphe dans $D(0,1)=\{ z\in\C\vert \ \vert z\vert <1\}$, nulle à l’origine et vérifiant $\Re F(z)\le 1$, pour tout $z$ dans $D(0,1)$. Montrer que la fonction $$f={F\over 2-F}$$ est bornée par 1 dans $D(0,1)$. En déduire une majoration de $\vert F(z)\vert$ en fonction de $\vert z\vert$. Déterminer $F$ en supposant de plus que l’on a $F'(0)=2$.