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En énonçant avec précision les différentes formes du principe du maximum utilisées, démontrer le lemme de Schwarz.
Application : Soit \(F\) une fonction holomorphe dans \(D(0,1)=\{ z\in\C\vert \ \vert z\vert <1\}\), nulle à l’origine et vérifiant \(\Re F(z)\le 1\), pour tout \(z\) dans \(D(0,1)\). Montrer que la fonction \[f={F\over 2-F}\] est bornée par 1 dans \(D(0,1)\). En déduire une majoration de \(\vert F(z)\vert\) en fonction de \(\vert z\vert\). Déterminer \(F\) en supposant de plus que l’on a \(F'(0)=2\).