Soit \(c\) un point singulier essentiel d’une fonction \(f\) holomorphe dans un disque pointé \(U =\{ z\in {\Cc}\vert\ 0<\vert z-c\vert <\rho \}\). Le but de l’exercice est de démontrer que \(f\) n’est injective dans aucun voisinage pointé de \(c\).
Montrer que pour tout \(\gamma \in{\Cc}\) et tout \(\varepsilon >0\), il existe \(z'\in U\) et \(\varepsilon '>0\) tels que \[\overline{D (f(z'),\varepsilon ')}\subset f(U) \cap D(\gamma ,\varepsilon ),\] où \(D(a,r)\) désigne le disque ouvert de centre \(a\) et de rayon \(r\). On pourra utiliser le théorème de Casorati-Weierstrass, puis remarquer que \(f(U)\) est ouvert (la fonction \(f\) est holomorphe donc ouverte).
Pour \(n\ge 1\), soit \(U_n\) le disque pointé \(\{ z\in {\Cc}\vert\ 0<\vert z-c\vert <\rho /n \}\). Soient \(\gamma _0\in{\Cc}\) et \(\varepsilon _0>0\). Construire par récurrence une suite strictement décroissante \((\varepsilon _n)_{n\ge 1}\) de réels strictement positifs et une suite \((z_n)_{n\ge 1}\), \(z_n\in U_{n-1}\), vérifiant \[\begin{aligned} \overline{D (f(z_1),\varepsilon_1 )}&\subset& f(U) \cap D(\gamma_0 ,\varepsilon _0),\\ \overline{D (f(z_{n+1}),\varepsilon_{n+1} )}&\subset& f(U_{n+1}) \cap D(f(z_n) ,\varepsilon _n)\ \ {\rm pour\ }n\ge 1.\\\end{aligned}\] En déduire qu’il existe \(a\in D(\gamma _0,\varepsilon _0)\) et une suite \((c_n)_{n\ge 0}\) de points de \(U\) distincts deux à deux tels que \[\lim_{n\to +\infty}c_n= c{\rm\ \ et\ \ }\forall n,\ \ f(c_n)=a.\] Conclure.