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Montrer que pour tout $\gamma \in{\Cc}$ et tout $\varepsilon >0$, il existe $z'\in U$ et $\varepsilon '>0$ tels que $$\overline{D (f(z'),\varepsilon ')}\subset f(U) \cap D(\gamma ,\varepsilon ),$$ où $D(a,r)$ désigne le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$. On pourra utiliser le théorème de Casorati-Weierstrass, puis remarquer que $f(U)$ est ouvert (la fonction $f$ est holomorphe donc ouverte).

Pour $n\ge 1$, soit $U_n$ le disque pointé $\{ z\in {\Cc}\vert\ 0<\vert z-c\vert <\rho /n \}$. Soient $\gamma _0\in{\Cc}$ et $\varepsilon _0>0$. Construire par récurrence une suite strictement décroissante $(\varepsilon _n)_{n\ge 1}$ de réels strictement positifs et une suite $(z_n)_{n\ge 1}$, $z_n\in U_{n-1}$, vérifiant $$\begin{aligned} \overline{D (f(z_1),\varepsilon_1 )}&\subset& f(U) \cap D(\gamma_0 ,\varepsilon _0),\\ \overline{D (f(z_{n+1}),\varepsilon_{n+1} )}&\subset& f(U_{n+1}) \cap D(f(z_n) ,\varepsilon _n)\ \ {\rm pour\ }n\ge 1.\\ \end{aligned}$$ En déduire qu’il existe $a\in D(\gamma _0,\varepsilon _0)$ et une suite $(c_n)_{n\ge 0}$ de points de $U$ distincts deux à deux tels que $$\lim_{n\to +\infty}c_n= c{\rm\ \ et\ \ }\forall n,\ \ f(c_n)=a.$$ Conclure.