Soit \(\varphi\) une fonction continue sur le bord orienté \(\partial K\) d’un compact \(K\); soit \(\Omega ={\Cc}\backslash \partial K\) : pour \(z\in \Omega\), on définit \[f(z)=\int_{\partial K}{\varphi(u)\over u-z}\ du.\] On va établir que \(f\) est holomorphe dans \(\Omega\). Fixons \(a\in\Omega\) et posons \(r=d(a, \partial K)>0\).
1
Soit \(0<\rho<r\) et \(z\in \bar B(a,\rho)\). Montrer, en développant \({1\over u-z}\) en série entière de \(z-a\), que \(f\) est somme d’une série entière au voisinage de \(a\); en déduire que \(f\in H(\Omega)\).
2
Montrer que \(f\) est indéfiniment dérivable en tout point \(a\) de \(\Omega\) et que \[f^{(n)}(a)=n!\int_I{\varphi(u)\over (u-a)^{n+1}}\ du.\]