L3 Analyse complexe Autre 2 questions

exo7 6741

Soit φ\varphi une fonction continue sur le bord orienté ∂K\partial K d’un compact KK; soit Ω=C\∂K\Omega ={\Cc}\backslash \partial K : pour z∈Ωz\in \Omega, on définit f(z)=∫∂Kφ(u)u−z du.f(z)=\int_{\partial K}{\varphi(u)\over u-z}\ du. On va établir que ff est holomorphe dans Ω\Omega. Fixons a∈Ωa\in\Omega et posons r=d(a,∂K)>0r=d(a, \partial K)>0.

1

Soit 0<ρ<r0<\rho<r et z∈Bˉ(a,ρ)z\in \bar B(a,\rho). Montrer, en développant 1u−z{1\over u-z} en série entière de z−az-a, que ff est somme d’une série entière au voisinage de aa; en déduire que f∈H(Ω)f\in H(\Omega).

2

Montrer que ff est indéfiniment dérivable en tout point aa de Ω\Omega et que f(n)(a)=n!∫Iφ(u)(u−a)n+1 du.f^{(n)}(a)=n!\int_I{\varphi(u)\over (u-a)^{n+1}}\ du.

Exercice 8sGi

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