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Démontrer que $\{ |f(z)| \ \mid z \in \Cc\,\}$ est connexe.

Démontrer que si pour tout $z\in \Cc$ on a $|f(z)| \neq a$, alors on a ou bien $\forall z\in \Cc : |f(z)| > a$, ou bien $\forall z\in \Cc : |f(z)| < a$. En déduire que $f$ est constante.

En utilisant le résultat de 2., démontrer que si $f$ n’est pas constante, alors $\inf_{z\in \Cc} |f(z)| = 0$ et $\sup_{z\in \Cc} |f(z)|= +\infty$.