Soit \(f:\Cc \to \Cc\) une application holomorphe et soit \(a\) un réel strictement positif.
1
Démontrer que \(\{ |f(z)| \ \mid z \in \Cc\,\}\) est connexe.
2
Démontrer que si pour tout \(z\in \Cc\) on a \(|f(z)| \neq a\), alors on a ou bien \(\forall z\in \Cc : |f(z)| > a\), ou bien \(\forall z\in \Cc : |f(z)| < a\). En déduire que \(f\) est constante.
3
En utilisant le résultat de 2., démontrer que si \(f\) n’est pas constante, alors \(\inf_{z\in \Cc} |f(z)| = 0\) et \(\sup_{z\in \Cc} |f(z)|= +\infty\).