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Soit $a\in {\Rr}^*$ ; en intégrant la fonction $g(z)=\exp{(-\pi z^2)}$ sur le rectangle de sommets $-R$, $R$, $R+ia$, $-R+ia$ ($R>0$), montrer que $$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left(-\pi(t+ia)^2\right)}\ dt.$$

On pose : $f(z)=\exp{(i\pi z^2)}\tan{(\pi z)}$.

Quels sont les pôles de $f$ ? Préciser leur ordre.

Soit $R>0$ ; on considère le parallélogramme $\Gamma _R$ de sommets $A=R+1+iR$, $B=R+iR$, $C=-R-iR$ et $D=-R+1-iR$, orienté dans le sens direct.

Montrer que $$\int_{\Gamma _R}f(z)\ dz=2e^{-i\pi/4}.$$

Montrer que $$\forall t\in [0,1],\ \vert \tan{(\pi (R+t+iR))\vert \le \coth{(\pi R)}}.$$

En déduire que l’intégrale de $f$ sur le segment orienté $[A,B]$ tend vers 0 quand $R$ tend vers $+\infty$.

Montrer de même que l’intégrale de $f$ sur $[C,D]$ tend vers 0 quand $R$ tend vers $+\infty$.