On se propose de calculer, à l’aide du théorème des résidus, la valeur de l’intégrale \[I=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{(-\pi t^2)}\ dt.\]
Soit \(a\in {\Rr}^*\) ; en intégrant la fonction \(g(z)=\exp{(-\pi z^2)}\) sur le rectangle de sommets \(-R\), \(R\), \(R+ia\), \(-R+ia\) (\(R>0\)), montrer que \[I=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left(-\pi(t+ia)^2\right)}\ dt.\]
On pose : \(f(z)=\exp{(i\pi z^2)}\tan{(\pi z)}\).
Quels sont les pôles de \(f\) ? Préciser leur ordre.
Soit \(R>0\) ; on considère le parallélogramme \(\Gamma _R\) de sommets \(A=R+1+iR\), \(B=R+iR\), \(C=-R-iR\) et \(D=-R+1-iR\), orienté dans le sens direct.
Montrer que \[\int_{\Gamma _R}f(z)\ dz=2e^{-i\pi/4}.\]
Montrer que \[\forall t\in [0,1],\ \vert \tan{(\pi (R+t+iR))\vert \le \coth{(\pi R)}}.\]
En déduire que l’intégrale de \(f\) sur le segment orienté \([A,B]\) tend vers 0 quand \(R\) tend vers \(+\infty\).
Montrer de même que l’intégrale de \(f\) sur \([C,D]\) tend vers 0 quand \(R\) tend vers \(+\infty\).