L3 Analyse complexe Autre 1 question

exo7 2875

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On rappelle la formule πcotg⁡(πα)=lim⁡N→∞∑k=−N+N1α−k\pi\cotg(\pi \alpha) = \lim_{N\to\infty} \sum_{k=-N}^{+N}\frac1{\alpha-k}, pour α∈C∖Z\alpha\in\Cc\setminus\Zz. Montrer: sin⁡(π(α−z))sin⁡(πα)=e−πcotg⁡(πα)z∏k=−∞+∞(1−zα+k)ezα+k\frac{\sin(\pi (\alpha - z))}{ \sin(\pi\alpha)}= e^{-\pi\cotg(\pi\alpha)z}\prod_{k=-\infty}^{+\infty} \left(1 -\frac{z}{\alpha+k}\right)e^{\frac z{\alpha+k}} avec un produit absolument convergent.

Exercice pvhU

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