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Soit $D$ un ouvert connexe de $\Cc$ contenant le disque unité fermé. Soient $f$ et $g$ deux applications holomorphes sur $D$ telles que pour tout $z\in\partial\Delta$ , $|f(z)|=|g(z)|$ .

On suppose que $f$ et $g$ n’ont pas de zéro dans $D$ . Montrer qu’il existe un nombre complexe $\lambda$ de module $1$ tel que $f=\lambda g$ sur $D$ .

La conclusion est-elle encore vraie si on ne suppose plus que $f$ et $g$ n’ont pas de zéro dans $D$ ?