Soit \(D\) un ouvert connexe de \(\Cc\) contenant le disque unité fermé. Soient \(f\) et \(g\) deux applications holomorphes sur \(D\) telles que pour tout \(z\in\partial\Delta\), \(|f(z)|=|g(z)|\).
1
On suppose que \(f\) et \(g\) n’ont pas de zéro dans \(D\). Montrer qu’il existe un nombre complexe \(\lambda\) de module \(1\) tel que \(f=\lambda g\) sur \(D\).
2
La conclusion est-elle encore vraie si on ne suppose plus que \(f\) et \(g\) n’ont pas de zéro dans \(D\) ?