Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Variable aléatoire sur un univers fini
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
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On nomme variable aléatoire sur un univers $\Omega$ (fini) toute application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$. | Pour une variable aléatoire $X$, la détermination exacte de l’univers image $X(\Omega)$ n’est pas toujours utile et on pourra se limiter à un ensemble de valeurs pertinentes. |
Pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, l’ensemble $\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in I\}$ est noté $(X \in I)$ | Notations $(X = x)$, $[X = x]$, $\{X = x\}$, $(X \leq x)$, etc. |
Exemple des fonctions indicatrices. Notation $\mathbb{1}_A$ où $A \subset \Omega$. | Règles de calcul : intersection, union, complémentaire. |
Système complet d’événements $(X = x)$ pour $x \in X(\Omega)$ associé à une variable aléatoire. | |
La loi [de probabilité] d’une variable aléatoire $X$ est l’application $f_X$ de $X(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ associant à tout $x$ de $X(\Omega)$ le nombre $P(X = x)$. La fonction de répartition de $X$ est l’application $F_X$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ associant à tout $t$ réel le nombre $F_X(t) = P(X \leq t)$. | On rappellera les représentations graphiques de ces deux fonctions, respectivement en bâtons et en escaliers. Les étudiants doivent savoir déterminer la loi d’une variable aléatoire à partir de sa fonction de répartition. Les propriétés générales des fonctions de répartition (croissance, limites, …) seront vues en deuxième année. |
Si $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une famille de réels distincts et $(p_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille de réels positifs vérifiant $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$ alors il existe une variable aléatoire $X$ sur un univers fini vérifiant, pour tout $i$ compris entre 1 et $n$, $P(X = x_i) = p_i$. | On ne se posera pas la question de l’espace probabilisé. ⇌ Algorithme de simulation d’une variable aléatoire sur un univers fini, les $(p_i)$ étant donnés sous la forme d’une liste. |
Dé truqué
On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\) ...
exo7 6026
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
Jeu de boules
Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à ...
Loi d'une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs 3,4,5 et 6.
Loi d'une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\{3,4,5,6\}\) te ...
Tirage complet d'une urne
Soit \(n \in \N^*\). Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de ...
Urne et variable aléatoire
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10€, si el ...