Soit $n\in\Nn^*$ . En développant $(1+\sqrt{2})^n$ par la formule du binôme de Newton et en séparant les termes où $\sqrt{2}$ apparaît à un exposant pair des termes où $\sqrt{2}$ apparaît à un exposant impair, on écrit $(1+\sqrt{2})^n$ sous la forme $a_n+b_n\sqrt{2}$ où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers naturels non nuls.

Mais alors $(1-\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ et donc

$(-1)^n=(1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n=(a_n+b_n\sqrt{2})(a_n-b_n\sqrt{2})=a_n^2-2b_n^2$ ou finalement,

$((-1)^na_n)a_n+(2(-1)^{n+1}b_n)b_n=1$

où $(-1)^na_n=u$ et $2(-1)^{n+1}b_n=v$ sont des entiers relatifs. Le théorème de Bezout permet d’affirmer que $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux.

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