\[\begin{align*}\ensuremath n&=9+8(10+10^2+...+10^{p-1})+4(10^p+...+10^{2p-1})=9+80\frac{10^{p-1}-1}{10-1}+4.10^p\frac{10^p-1}{10-1}\\ &=\frac{1}{9}(81+80(10^{p-1}-1)+4.10^p(10^p-1))=\frac{1}{9}(4.10^{2p}+4.10^p+1)=\left(\frac{2.10^p+1}{3}\right)^2, \end{align*}\]

(ce qui montre déjà que \(n\) est le carré d’un rationnel). Maintenant,

\[2.10^p+1=2(9+1)^p+1=2.\sum_{k=0}^{p}C_p^k9^k+1=3+2\sum_{k=1}^{p}C_p^k3^{2k}=3(1+2\sum_{k=1}^{p}C_p^k3^{2k-1}),\]

et \(2.10^p+1\) est un entier divisible par \(3\). Finalement, \(n=\left(\frac{2.10^p+1}{3}\right)^2\) est bien le carré d’un entier.

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