Pour \(1\le k< p\) : \(k!\,C_{p+k}^k =(p+1)\dots(p+k) \equiv k! (\mathrm{mod}\,{p})\) donc \(C_{p+k}^k \equiv 1(\mathrm{mod}\,{p})\). De plus \(C_p^k \equiv 0(\mathrm{mod}\, p)\) d’où \(C_p^kC_{p+k}^k\equiv C_p^k(\mathrm{mod}\,{p^2})\).

Ensuite \((p-1)!\,C_{2p}^p = 2(p+1)\dots(p+p-1)\equiv2(p-1)!+2p\sum_{i=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}i (\mathrm{mod}\,{p^2}) \equiv2(p-1)!\Bigl(1+p\sum_{i=1}^{p-1}i'\Bigr) (\mathrm{mod}\,{p^2})\) où \(i'\) désigne l’inverse de \(i\) modulo \(p\). L’application \(x \mapsto x^{-1}\) est une permutation de \((\Z/p\Z)^*\) donc \(\sum_{i=1}^{p-1}i'\equiv \frac{p(p-1)}2(\mathrm{mod}\, p)\equiv 0(\mathrm{mod}\, p)\), d’où \(C_p^pC_{2p}^p\equiv 2(\mathrm{mod}\,{p^2})\).

Enfin \(\sum_{k=0}^pC_p^kC_{p+k}^k \equiv 1 + \sum_{k=1}^{p-1}C_p^k + 2 (\mathrm{mod}\,{p^2})\equiv 2^p+1(\mathrm{mod}\,{p^2})\).

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