Posons \(d=x\wedge y\) et \(m=x\vee y\). \(d\) divise \(m=105=3.5.7\) mais, puisque \(d\) divise \(x\) et \(y\), \(d\) divise aussi \(x+y=56=2^3.7\). Donc, \(d\) divise \(105\wedge56=7\) et nécessairement \(d=1\) ou \(d=7\).

\(d=1\) fournit, puisque \(m=105\), \(xy=md=105\). \(x\) et \(y\) sont donc les solutions de l’équation \(X^2-56X+105=0\) qui n’admet pas de solutions entières. [2ème cas.] \(d=7\) fournit \(xy=7.105=735\). \(x\) et \(y\) sont donc les solutions de l’équation \(X^2-56X+735=0\) qui admet les solutions \(21\) et \(35\).

Réciproquement, \(21+35=56\) et \(21\vee35=3.5.7=105\). \(\mathcal{S}=\{(21,35),(35,21)\}\). On pose \(x=dx'\) et \(y=dy'\) avec \(x'\) et \(y'\) premiers entre eux et \(d=x\wedge y\). Le système s’écrit \(\left\{ \begin{array}{l} x'-y'=1\\ dx'y'=72 \end{array} \right.\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x'=y'+1\\ d(y'+1)y'=72 \end{array} \right.\). En particulier, \(y'\) et \(y'+1\) sont deux diviseurs consécutifs de \(72\). \(72=2^3.3^2\) admet \(4.3=12\) diviseurs à savoir \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(9\), \(12\), \(18\), \(24\), \(36\) et \(72\). Donc \(y'\) est élément de \(\{1,2,3,8\}\).

\(y'=1\) fournit \(d=\frac{72}{1.2}=36\) puis \(y=36.1=36\) et \(x=y+d=72\). Réciproquement, \(72-36=36=36\wedge72\) et \(36\vee72=72\). [2ème cas.] \(y'=2\) fournit \(d=12\), \(y=24\), \(x=36\) qui réciproquement conviennent. [3ème cas.] \(y'=3\) fournit \(d=6\), \(y=18\), \(x=24\) qui réciproquement conviennent. [4ème cas.] \(y'= 8\) fournit \(d=1\), \(y=8\), \(x=9\) qui réciproquement conviennent.

\[\mathcal{S}=\{(9,8),(24,18),(36,24),(72,36)\}.\] \(d\) divise \(m\) et donc \(d\) divise \(243=3^5\) et \(d\in\{1,3,9,27,81,243\}\). On pose alors \(x=dx'\), \(y=dy'\) avec \(x'\) et \(y'\) premiers entre eux.

Si \(d=1\) on a \(x'y'-1=243\) ou encore \(x'y'=244\) ce qui fournit les possibilités (en n’oubliant pas que \(x'\) et \(y'\) sont premiers entre eux) :

\(x'=1\), \(y'=244\) puis \(x=1\) et \(y=244\),

\(x'=4\), \(y'=61\) puis \(x=4\) et \(y=61\),

\(x'=61\), \(y'=4\) puis \(x=61\) et \(y=4\),

\(x'=244\), \(y'=1\) puis \(x=244\) et \(y=1\) qui réciproquement conviennent. [2ème cas.] Si \(d=3\), on a \(x'y'=81+1=82\) ce qui fournit les possibilités :

\(x'=1\), \(y'=82\) puis \(x=3\) et \(y=246\),

\(x'=2\), \(y'=41\) puis \(x=6\) et \(y=123\),

\(x'=41\), \(y'=2\) puis \(x=123\) et \(y=6\),

\(x'=82\), \(y'=1\) puis \(x=246\) et \(y=3\) qui réciproquement conviennent. [3ème cas.] Si \(d=9\) on a \(x'y'=27+1=28\) ce qui fournit les possibilités :

\(x'=1\), \(y'=28\) puis \(x=9\) et \(y=252\),

\(x'=4\), \(y'=7\) puis \(x=36\) et \(y=63\),

\(x'=7\), \(y'=4\) puis \(x=63\) et \(y=36\),

\(x'=28\), \(y'=1\) puis \(x=252\) et \(y=9\) qui réciproquement conviennent. [4ème cas.] Si \(d=27\) on a \(x'y'=9+1=10\) ce qui fournit les possibilités :

\(x'=1\), \(y'=10\) puis \(x=27\) et \(y=270\),

\(x'=2\), \(y'=5\) puis \(x=54\) et \(y=135\),

\(x'=5\), \(y'=2\) puis \(x=135\) et \(y=54\),

\(x'=10\), \(y'=1\) puis \(x=270\) et \(y=27\) qui réciproquement conviennent. [5ème cas.] Si \(d=81\), on a \(x'y'=3+1=4\) ce qui fournit les possibilités :

\(x'=1\), \(y'=4\) puis \(x=81\) et \(y=324\),

\(x'=4\), \(y'=1\) puis \(x=324\) et \(y=81\) qui réciproquement conviennent. [6ème cas.] Si \(d=243\), on a \(x'y'=1+1=2\) ce qui fournit les possibilités :

\(x'=1\), \(y'=2\) puis \(x=243\) et \(y=486\),

\(x'=2\), \(y'=1\) puis \(x=486\) et \(y=243\) qui réciproquement conviennent.

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