Posons $d=x\wedge y$ et $m=x\vee y$ . $d$ divise $m=105=3.5.7$ mais, puisque $d$ divise $x$ et $y$ , $d$ divise aussi $x+y=56=2^3.7$ . Donc, $d$ divise $105\wedge56=7$ et nécessairement $d=1$ ou $d=7$ .

1er cas. $d=1$ fournit, puisque $m=105$ , $xy=md=105$ . $x$ et $y$ sont donc les solutions de l’équation $X^2-56X+105=0$ qui n’admet pas de solutions entières.
2ème cas. $d=7$ fournit $xy=7.105=735$ . $x$ et $y$ sont donc les solutions de l’équation $X^2-56X+735=0$ qui admet les solutions $21$ et $35$ .

Réciproquement, $21+35=56$ et $21\vee35=3.5.7=105$ . $\mathcal{S}=\{(21,35),(35,21)\}$ . On pose $x=dx'$ et $y=dy'$ avec $x'$ et $y'$ premiers entre eux et $d=x\wedge y$ . Le système s’écrit $\left\{ \begin{array}{l} x'-y'=1\\ dx'y'=72 \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} x'=y'+1\\ d(y'+1)y'=72 \end{array} \right.$ . En particulier, $y'$ et $y'+1$ sont deux diviseurs consécutifs de $72$ . $72=2^3.3^2$ admet $4.3=12$ diviseurs à savoir $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , $9$ , $12$ , $18$ , $24$ , $36$ et $72$ . Donc $y'$ est élément de $\{1,2,3,8\}$ .

1er cas. $y'=1$ fournit $d=\frac{72}{1.2}=36$ puis $y=36.1=36$ et $x=y+d=72$ . Réciproquement, $72-36=36=36\wedge72$ et $36\vee72=72$ .
2ème cas. $y'=2$ fournit $d=12$ , $y=24$ , $x=36$ qui réciproquement conviennent.
3ème cas. $y'=3$ fournit $d=6$ , $y=18$ , $x=24$ qui réciproquement conviennent.
4ème cas. $y'= 8$ fournit $d=1$ , $y=8$ , $x=9$ qui réciproquement conviennent.

$\mathcal{S}=\{(9,8),(24,18),(36,24),(72,36)\}.$ $d$ divise $m$ et donc $d$ divise $243=3^5$ et $d\in\{1,3,9,27,81,243\}$ . On pose alors $x=dx'$ , $y=dy'$ avec $x'$ et $y'$ premiers entre eux.

1er cas. Si $d=1$ on a $x'y'-1=243$ ou encore $x'y'=244$ ce qui fournit les possibilités (en n’oubliant pas que $x'$ et $y'$ sont premiers entre eux) :

$x'=1$ , $y'=244$ puis $x=1$ et $y=244$ ,

$x'=4$ , $y'=61$ puis $x=4$ et $y=61$ ,

$x'=61$ , $y'=4$ puis $x=61$ et $y=4$ ,

$x'=244$ , $y'=1$ puis $x=244$ et $y=1$ qui réciproquement conviennent.
2ème cas. Si $d=3$ , on a $x'y'=81+1=82$ ce qui fournit les possibilités :

$x'=1$ , $y'=82$ puis $x=3$ et $y=246$ ,

$x'=2$ , $y'=41$ puis $x=6$ et $y=123$ ,

$x'=41$ , $y'=2$ puis $x=123$ et $y=6$ ,

$x'=82$ , $y'=1$ puis $x=246$ et $y=3$ qui réciproquement conviennent.
3ème cas. Si $d=9$ on a $x'y'=27+1=28$ ce qui fournit les possibilités :

$x'=1$ , $y'=28$ puis $x=9$ et $y=252$ ,

$x'=4$ , $y'=7$ puis $x=36$ et $y=63$ ,

$x'=7$ , $y'=4$ puis $x=63$ et $y=36$ ,

$x'=28$ , $y'=1$ puis $x=252$ et $y=9$ qui réciproquement conviennent.
4ème cas. Si $d=27$ on a $x'y'=9+1=10$ ce qui fournit les possibilités :

$x'=1$ , $y'=10$ puis $x=27$ et $y=270$ ,

$x'=2$ , $y'=5$ puis $x=54$ et $y=135$ ,

$x'=5$ , $y'=2$ puis $x=135$ et $y=54$ ,

$x'=10$ , $y'=1$ puis $x=270$ et $y=27$ qui réciproquement conviennent.
5ème cas. Si $d=81$ , on a $x'y'=3+1=4$ ce qui fournit les possibilités :

$x'=1$ , $y'=4$ puis $x=81$ et $y=324$ ,

$x'=4$ , $y'=1$ puis $x=324$ et $y=81$ qui réciproquement conviennent.
6ème cas. Si $d=243$ , on a $x'y'=1+1=2$ ce qui fournit les possibilités :

$x'=1$ , $y'=2$ puis $x=243$ et $y=486$ ,

$x'=2$ , $y'=1$ puis $x=486$ et $y=243$ qui réciproquement conviennent.

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