Pour $k\in\Nn$ , posons $a_k=11...1$ ( $k+1$ chiffres $1$ en base $10$ ).

Soit $n$ un entier naturel quelconque.

La division euclidienne de $a_k$ par $n$ s’écrit : $a_k=n.q_k+r_k$ où $q_k$ et $r_k$ sont des entiers naturels tels que $0\leq r_k\leq n-1$ .

Les $n+1$ entiers $r_0$ ,..., $r_n$ sont à choisir parmi les $n$ entiers $0$ , $1$ ,..., $n-1$ . Les $n+1$ restes considérés ne peuvent donc être deux à deux distincts. Par suite,

$\exists(k,l)\in\Nn^2/\;0\leq k<l\leq n\;\mbox{et}\;r_k=r_l.$

Mais alors, $a_l-a_k=(q_l-q_k)n$ est un multiple de $n$ . Comme $a_l-a_k=11...10...0$ ( $l-k$ chiffres $1$ et $k+1$ chiffres $0$ ), on a montré que tout entier naturel admet un multiple de la forme $11...10...0=11...1.10^K$ . Si de plus $n$ est impair, non divisible par $5$ , alors $n$ est premier à $2$ et à $5$ et donc à $10^K$ . D’après le théorème de Gauss, $n$ divise $11...1$ .

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