Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tels que $3x^3+xy+4y^3=349$ . On a $4y^3\leq 3x^3+xy+4y^3=349$ et donc

$y\leq\sqrt[3]{\frac{349}{4}}=4,4...$

Donc, $y\in\{0,1,2,3,4\}$ . De même, $3x^3\leq 3x^3+xy+4y^3=349$ et donc

$x\leq\sqrt[3]{\frac{349}{3}}=4,8...$

Donc, $x\in\{0,1,2,3,4\}$ ce qui ne laisse plus que $5.5=25$ couples candidats. Ensuite,

$y=0$ donne $3x^3=349$ qui ne fournit pas de solutions.

$y=1$ donne $3x^3+x-345=0$ , équation dont aucun des entiers de $0$ à $4$ n’est solution.

$y=2$ donne $3x^3+2x-317=0$ , équation dont aucun des entiers de $0$ à $4$ n’est solution.

$y=3$ donne $3x^3+3x-241=0$ , équation dont aucun des entiers de $0$ à $4$ n’est solution.

$y=4$ donne $3x^3+4x-93=0$ dont seul $x=3$ est solution.

$\mathcal{S}=\{(3,4)\}.$

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