Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\).

\[(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5n^2+10=5(n^2+2).\]

\(5(n^2+2)\) devant être un carré parfait, \(n^2+2\) doit encore être divisible par \(5\) mais si \(n\) est dans \(5\Zz\), \(n^2+2\) est dans \(2+5\Zz\), si \(n\) est dans \(\pm1+5\Zz\), \(n^2+2\) est dans \(3+5\Zz\) et si \(n\) est dans \(\pm2+5\Zz\), \(n^2+2\) est dans \(1+5\Zz\) et \(n^2+2\) n’est jamais divisible par \(5\). Une somme de cinq carrés d’entiers consécutifs n’est donc pas un carré parfait.

exo7 5300