Soit $n\in\Nn^*$ . Posons $n=a_p10^p+...+10a_1+a_0=\overline{a_p...a_1a_0}_{10}$ . Si au moins un des chiffres de $n$ n’est pas $9$ , on note $k$ le plus petit indice tel que $a_k\neq9$ . Alors, $0\leq k\leq p-1$ et $n=\overline{a_p...a_k9...9}_{10}$ et $n+1=\overline{a_p...a_{k+1}(a_k+1)0...0}_{10}$ . Dans ce cas, si $k=0$ ,

$\frac{\sigma(n+1)}{\sigma(n)}=\frac{\sigma(n)+1}{\sigma(n)}=1+\frac{1}{\sigma(n)}\leq1+1=2.$

Si $1\leq k\leq p-1$ ,

$\frac{\sigma(n+1)}{\sigma(n)}=\frac{a_p+...+a_k+1}{a_p+...+a_k+9k}\leq\frac{a_p+...+a_k+1}{a_p+...+a_k+1}=1\leq2.$

Sinon, tous les chiffres de $n$ sont égaux à $9$ , et dans ce cas,

$\frac{\sigma(n+1)}{\sigma(n)}=\frac{1}{9(p+1)}\leq2.$

Ainsi, pour tout entier naturel non nul $n$ , on a $u_n\leq2$ . La suite $u$ est donc bornée.

Pour $p\in\Nn^*$ , $u_{10^p-1}=\frac{\sigma(10^p)}{\sigma(10^p-1)}=\frac{1}{9p}$ . La suite extraite $(u_{10^p-1})_{p\in\Nn}$ converge et a pour limite $0$ .

Pour $p\in\Nn^*$ , $u_{10^p}=\frac{\sigma(10^p+1)}{\sigma(10^p)}=\frac{2}{1}=2$ . La suite extraite $(u_{10^p})_{p\in\Nn}$ converge et a pour limite $2\neq0$ .

On en déduit que la suite $u$ diverge.

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