Soient $m$ , $n$ et $p$ trois entiers naturels et $r_1$ , $r_2$ et $r_3$ les restes des divisions euclidiennes de $m$ , $n$ et $p$ par $8$ . Alors,

$m^2+n^2+p^2=(8q_1+r_1)^2+(8q_2+r_2)^2+(8q_3+r_3)^2\in r_1^2+r_2^2+r_3^2+8\Zz.$

Donc $m^2+n^2+p^2$ est dans $7+8\Zz$ si et seulement si $r_1^2+r_2^2+r_3^2$ est dans $7+8\Zz$ .

Comme $r_1$ , $r_2$ et $r_3$ sont des entiers entre $0$ et $7$ , il suffit de vérifier que les sommes de trois carrés d’entiers compris au sens large entre $0$ et $7$ ne sont pas dans $7+8\Zz$ .

Or, $0^2=0\in8\Zz$ , $1^2=1\in1+8\Zz$ , $2^2=4\in4+8\Zz$ , $3^2=9\in1+8\Zz$ , $4^2=16\in8\Zz$ , $5^2=25\in1+8\Zz$ , $6^2=36\in4+8\Zz$ et $7^2=49\in1+8\Zz$ . Donc, les carrés des entiers de $0$ à $7$ sont dans $8\Zz$ ou $1+8\Zz$ ou $4+8\Zz$ . Enfin,

$\begin{array}{llll} 0+0+0=0\in8\Zz,\quad&0+0+1=1\in1+8\Zz,\quad&0+0+4=4\in4+8\Zz,&0+1+1=2\in2+8\Zz,\\ 0+1+4=5\in5+8\Zz&0+4+4=8\in8\Zz,&1+1+1=3\in3+8\Zz,&1+1+4=6\in6+8\Zz,\\ 1+4+4=9\in1+8\Zz,&4+4+4=12\in4+8\Zz. \end{array}$

Aucune de ces sommes n’est dans $7+8\Zz$ et on a montré qu’un entier de la forme $8n+7$ n’est pas la somme de trois carrés.

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