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Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] où \(\pi(x)\) désigne le nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à \(x\).
a) Calculer \(I_{p,q}=\int_0^1 x^p(1-x)^qdx\) pour \(p\) et \(q\) entiers naturels.
b) Soit \(D_n\) le ppmc de \(n+1,\ n+2,\dots,\ 2n+1\). A l’aide de \(I_{n,n}\), établir l’inégalité \(D_n\geq{(2n+1)!\over(n!)^2}\)
c) Montrer que \(D_n\leq (2n+1)^{\pi(2n+1)}\) et en déduire la minoration de \(\pi(2n+1)\) annoncée au début de l’exercice.