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Le but de cet exercice est de montrer que $$\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}$$ où $\pi(x)$ désigne le nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à $x$.

a) Calculer $I_{p,q}=\int_0^1 x^p(1-x)^qdx$ pour $p$ et $q$ entiers naturels.

b) Soit $D_n$ le ppmc de $n+1,\ n+2,\dots,\ 2n+1$. A l’aide de $I_{n,n}$, établir l’inégalité $D_n\geq{(2n+1)!\over(n!)^2}$

c) Montrer que $D_n\leq (2n+1)^{\pi(2n+1)}$ et en déduire la minoration de $\pi(2n+1)$ annoncée au début de l’exercice.