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Soient $n,p \in \N^*$ tels que $n \wedge p = 1$ . Pour $x\in\Z$ on note $\overline{x}^{\,n}$ , $\overline{x}^{\,p}$ et $\overline{x}^{\,np}$ les classes d’équivalence de $x$ modulo $n$ , $p$ et $np$ .

Montrer que l’application $\phi : {\Z/\bigl(np\Z\bigr)} \to {\bigl(\Z/n\Z\bigr) \times \bigl(\Z/p\Z\bigr)}, {\overline x^{\,np}} \mapsto {(\overline x^{\,n}, \overline x^{\,p})}$ est un morphisme d’anneaux.

En déduire que $\varphi(np) = \varphi(n)\varphi(p)$ ( $\varphi$ = fonction d’Euler).

Vérifier que l’hypothèse $n \wedge p = 1$ est nécéssaire.

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