Soient \(n,p \in \N^*\) tels que \(n \wedge p = 1\). Pour \(x\in\Z\) on note \(\overline{x}^{\,n}\), \(\overline{x}^{\,p}\) et \(\overline{x}^{\,np}\) les classes d’équivalence de \(x\) modulo \(n\), \(p\) et \(np\).
1
Montrer que l’application \(\phi : {\Z/\bigl(np\Z\bigr)} \to {\bigl(\Z/n\Z\bigr) \times \bigl(\Z/p\Z\bigr)}, {\overline x^{\,np}} \mapsto {(\overline x^{\,n}, \overline x^{\,p})}\) est un morphisme d’anneaux.
2
En déduire que \(\varphi(np) = \varphi(n)\varphi(p)\) (\(\varphi\) = fonction d’Euler).
3
Vérifier que l’hypothèse \(n \wedge p = 1\) est nécéssaire.