On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle \(2\pi/n\), \(S\) la symétrie par rapport à l’axe \((Ox)\).
1
Montrer que \(S^2=id\), \((R_n)^n=id\) et \(R_nS=SR_n^{-1}\).
2
Montrer que le sous-groupe des isométries du plan engendré par \(R_n\) et \(S\) (ie le plus petit sous-groupe des isométries du plan qui contient \(R_n\) et \(S\)) est de cardinal \(2n\). On le note \(D_n\): c’est le groupe dihédral d’ordre \(2n\).
3
Montrer que \(D_n\) préserve un polygone régulier à \(n\) côtés, centré en \(O\).
4
En vous aidant de ce qui précède, construire un isomorphisme entre \(D_3\) et \(S_3\).