Soit \(\mathbb{H}=\biggl\lbrace \begin{pmatrix} z & w \\ -\bar{w} & \bar{z} \end{pmatrix} : (z,w)\in\Cc^2\biggr\rbrace\) l’ensemble des quaternions. \(\mathbb{H}^*\) désigne \(\mathbb{H}\) privé de la matrice nulle. On note \(\mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{i}= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\), \(\mathbf{j}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{k}= \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}\).
Montrer que \(\mathbb{H}^*\) est un sous-groupe de \(GL_n(\Cc)\).
Montrer que \(\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{1}\), \(\mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k}\), \(\mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i}\), \(\mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j}\), \(\mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k}\), \(\mathbf{k}\mathbf{j}==\mathbf{i}\), \(\mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j}\).
En déduire que le sous-groupe de \(\mathbb{H}^*\) engendré par \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) et \(\mathbf{k}\) est d’ordre 8. On le note \(H_8\).
Ecrire la table de \(H_8\).
Vérifier que les groupes (tous de cardinal 8) \(H_8\), \(\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz\), \(\Zz/2\Zz\times\Zz/4\Zz\), \(\Zz/8\Zz\) et \(D_4\) sont 2 à 2 non isomorphes.