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Soit $\mathbb{H}=\biggl\lbrace \begin{pmatrix} z & w \\ -\bar{w} & \bar{z} \end{pmatrix} : (z,w)\in\Cc^2\biggr\rbrace$ l’ensemble des quaternions. $\mathbb{H}^*$ désigne $\mathbb{H}$ privé de la matrice nulle. On note $\mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{i}= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ , $\mathbf{j}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{k}= \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$ .

Montrer que $\mathbb{H}^*$ est un sous-groupe de $GL_n(\Cc)$ .

Montrer que $\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{1}$ , $\mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k}$ , $\mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i}$ , $\mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j}$ , $\mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k}$ , $\mathbf{k}\mathbf{j}==\mathbf{i}$ , $\mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j}$ .

En déduire que le sous-groupe de $\mathbb{H}^*$ engendré par $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ et $\mathbf{k}$ est d’ordre 8. On le note $H_8$ .

Ecrire la table de $H_8$ .

Vérifier que les groupes (tous de cardinal 8) $H_8$ , $\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz$ , $\Zz/2\Zz\times\Zz/4\Zz$ , $\Zz/8\Zz$ et $D_4$ sont 2 à 2 non isomorphes.

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