On a trois possibilités : \(p\in3\Zz\), \(p\in3\Zz+1\) ou \(p\in3\Zz-1\).

Dans les deux derniers cas, \(p^2\in1+3\Zz\) et \(8p^2+1\in9+3\Zz=3\Zz\). Mais alors, \(8p^2+1\) est premier et multiple de \(3\) ce qui impose \(8p^2+1=3\). Cette dernière égalité est impossible.

Il ne reste donc que le cas où \(p\) est premier et multiple de \(3\), c’est-à-dire \(p=3\) (en résumé, \(p\) et \(8p^2+1\) premiers impliquent \(p=3\)). Dans ce cas, \(8p^2+1=73\) et \(8p^2-1=71\) sont effectivement premiers.

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