Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $\sigma(n)$ la somme de ses chiffres en base $10$ (voir l’exercice [exo:suprou19]). Si $n=a_0+10a_1+...+10^ka_k$ où $k\in\Nn$ , $0\leq a_i\leq9$ pour $0\leq i\leq k$ et $a_k\neq0$ , alors

$\sigma(n)=a_0+...+a_k\leq9(k+1)\leq 9(E(\log n)+1)\leq9(\log n+1).$

Donc,

$\begin{align*} A &= \sigma(4444^{4444}) \\ &\leq 9(\log(4444^{4444})+1) \\ &\leq 9(4444\log(10^5)+1) \\ &= 9(4444.5+1) \\ &= 9.22221 \\ &= 199989. \end{align*}$

Puis, $B=\sigma(A)\leq1+5.9=46$ , puis $\sigma(B)\leq\sigma(39)=12$ . Donc, $1\leq\sigma(B)\leq12$ .

D’autre part, on sait que modulo 9 : $\sigma(B)\equiv B\equiv A=4444^{4444}$ . Enfin, $4444^{4444}=(9.443+7)^{4444}\equiv7^{4444}\;(9)$ . De plus, $7\equiv-2\;(9)$ puis $7^2\equiv4\;(9)$ puis $7^3\equiv 28\equiv1\;(9)$ et donc $7^{4444}=(7^3)^{1481}.7\equiv(1^3)^{1481}.7\equiv7\;(9)$ . Finalement, $1\leq\sigma(B)\leq12$ et $C\equiv7\;(9)$ ce qui impose $C=7$ .

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