$4^{2^n}$ signifie $(...((4^2)^2)^2...)^2$ . Etudions la suite de ces élévations au carré successives modulo $7$ . $4^{2^0}=4$ est dans $4+7\Zz$ . $4^{2^1}=16$ est dans $2+7\Zz$ . $4^{2^2}=16^2=(7k+2)^2=4+7k'$ est dans $4+7\Zz$ ... Montrons par récurrence sur $p$ entier naturel que : $\forall p\in\Nn$ , $4^{2^{2p}}$ est dans $4+7\Zz$ et $4^{2^{2p+1}}$ est dans $2+7\Zz$ .

C’est vrai pour $p=0$ .

Soit $p\geq0$ . Si il existe deux entiers relatifs $k_{2p}$ et $k_{2p+1}$ tels que $4^{2^{2p}}=4+7k_{2p}$ et $4^{2^{2p+1}}=2+7k_{2p+1}$ , alors :

$4^{2^{2p+2}}=(4^{2^{2p+1}})^2=(2+7k_{2p+1})^2=4+7(4k_{2p+1}+7k_{2p+1}^2)\in4+7\Zz,$

puis

$\begin{align*} 4^{2^{2p+3}} &= (4^{2^{2p+2}})^2 \\ &= (4+7k_{2p+2})^2 \\ &= 16+28k_{2p+2}+49k_{2p+2}^2 \\ &= 2+7(2+4k_{2p+2}+7k_{2p+2}^2)\in2+7\Zz. \end{align*}$

On a montré par récurrence que si $n$ est pair, $4^{2^n}$ est dans $4+7\Zz$ et si $n$ est impair, $4^{2^n}$ est dans $2+7\Zz$ .

Ensuite $2^{2^0}=2$ est dans $2+7\Zz$ puis, pour $n\geq1$ , $2^{2^n}=2^{2.2^{n-1}}=4^{2^{n-1}}$ est dans $4+7\Zz$ si $n-1$ est pair ou encore si $n$ est impair et est dans $2+7\Zz$ si $n$ est pair. Ainsi, que $n$ soit pair ou impair, $4^{2^n}+2^{2^n}+1$ est dans $(4+2)+1+7\Zz=7+7\Zz=7\Zz$ et on a montré que :

$\forall n\in\Nn,\;7|4^{2^n}+2^{2^n}+1.$

exo7 5292