Si $x\geq5$ et $5\leq k\leq x$ , alors $k!$ est divisible par $2.5=10$ . D’autre part, $1!+2!+3!+4!=33$ et le chiffre des unités de $\sum_{k=1}^{x}k!$ est $3$ . $\sum_{k=1}^{x}k!$ n’est donc pas un carré parfait car le chiffre des unités (en base 10) d’un carré parfait est à choisir parmi $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ , $9$ . Donc, $x\leq4$ . Ensuite, $1!=1=1^2$ puis $1!+2!=1+2=3$ n’est pas un carré parfait, puis $1!+2!+3!=9=3^2$ puis $1!+2!+3!+4!=33$ n’est pas un carré parfait.

$\mathcal{S}=\{(1,1),(3,3)\}.$

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