Si \(x\geq5\) et \(5\leq k\leq x\), alors \(k!\) est divisible par \(2.5=10\). D’autre part, \(1!+2!+3!+4!=33\) et le chiffre des unités de \(\sum_{k=1}^{x}k!\) est \(3\). \(\sum_{k=1}^{x}k!\) n’est donc pas un carré parfait car le chiffre des unités (en base 10) d’un carré parfait est à choisir parmi \(0\), \(1\), \(4\), \(5\), \(6\), \(9\). Donc, \(x\leq4\). Ensuite, \(1!=1=1^2\) puis \(1!+2!=1+2=3\) n’est pas un carré parfait, puis \(1!+2!+3!=9=3^2\) puis \(1!+2!+3!+4!=33\) n’est pas un carré parfait.

\[\mathcal{S}=\{(1,1),(3,3)\}.\]

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