Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tels que $n<m$ . Posons $m=n+k$ avec $k>0$ . On note que

$F_m=2^{2^{n+k}}+1=(2^{2^n})^{2^k}+1=(F_n-1)^{2^k}+1.$

En développant l’expression précédente par la formule du binôme de Newton et en tenant compte du fait que $2^k$ est pair puisque $k$ est strictement positif, on obtient une expression de la forme $q.F_n+1+1=q.F_n+2$ .

Le P.G.C.D. de $F_n$ et $F_m$ doit encore diviser $F_m-q.F_n=2$ et vaut donc $1$ ou $2$ . Enfin, puisque $2^n$ et $2^m$ sont strictement positifs, $F_n$ et $F_m$ sont impairs et leur P.G.C.D. vaut donc $1$ (ce résultat redémontre l’existence d’une infinité de nombres premiers).

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