Soient \(n\) et \(m\) deux entiers naturels tels que \(n<m\). Posons \(m=n+k\) avec \(k>0\). On note que

\[F_m=2^{2^{n+k}}+1=(2^{2^n})^{2^k}+1=(F_n-1)^{2^k}+1.\]

En développant l’expression précédente par la formule du binôme de Newton et en tenant compte du fait que \(2^k\) est pair puisque \(k\) est strictement positif, on obtient une expression de la forme \(q.F_n+1+1=q.F_n+2\).

Le P.G.C.D. de \(F_n\) et \(F_m\) doit encore diviser \(F_m-q.F_n=2\) et vaut donc \(1\) ou \(2\). Enfin, puisque \(2^n\) et \(2^m\) sont strictement positifs, \(F_n\) et \(F_m\) sont impairs et leur P.G.C.D. vaut donc \(1\) (ce résultat redémontre l’existence d’une infinité de nombres premiers).

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