La réduction modulo $2$ de $Q$ est $Q_{[2]}=x^{6}+x^{2}+1$ , qui n’a pas de racine, et n’est pas divisible par $x^{2}+x+1$ , le seul irréductible de degré $2$ de $\Zz_{2}[x]$ . Ainsi, $Q_{[2]}$ est soit irréductible, auquel cas $Q$ l’est aussi sur $\Zz$ , soit le produit de deux irréductibles de degré $3$ .

Si $Q_{[2]}$ n’est pas irréductible, on considère la réduction modulo $3$ de $Q$ : $Q_{[3]}=x^{6}+1=(x^{2}+1)^{3}$ . $x^{2}+1$ est irréductible sur $\Zz_{3}$ , car il est de degré $2$ et n’a pas de racine. Soit $Q=RS$ une factorisation non triviale de $Q$ sur $\Zz$ . On peut supposer $R$ et $S$ unitaires. Alors, en considérant la réduction modulo $2$ , on obtient que $R_{[2]}$ et $S_{[2]}$ sont deux irréductibles de degré $3$ de $\Zz_{2}[x]$ . En particulier $\deg(R)=\deg(R_{[2]})=3$ (car $R$ est unitaire) et $\deg(S)=\deg(S_{[2]})=3$ . Cependant, la réduction modulo $3$ de $Q$ n’admet pas de factorisation suivant deux polynômes de degré 3. C’est une contradiction : on en déduit que $Q$ n’a pas de factorisation non triviale.

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