La réduction modulo \(2\) de \(Q\) est \(Q_{[2]}=x^{6}+x^{2}+1\), qui n’a pas de racine, et n’est pas divisible par \(x^{2}+x+1\), le seul irréductible de degré \(2\) de \(\Zz_{2}[x]\). Ainsi, \(Q_{[2]}\) est soit irréductible, auquel cas \(Q\) l’est aussi sur \(\Zz\), soit le produit de deux irréductibles de degré \(3\).

Si \(Q_{[2]}\) n’est pas irréductible, on considère la réduction modulo \(3\) de \(Q\) : \(Q_{[3]}=x^{6}+1=(x^{2}+1)^{3}\). \(x^{2}+1\) est irréductible sur \(\Zz_{3}\), car il est de degré \(2\) et n’a pas de racine. Soit \(Q=RS\) une factorisation non triviale de \(Q\) sur \(\Zz\). On peut supposer \(R\) et \(S\) unitaires. Alors, en considérant la réduction modulo \(2\), on obtient que \(R_{[2]}\) et \(S_{[2]}\) sont deux irréductibles de degré \(3\) de \(\Zz_{2}[x]\). En particulier \(\deg(R)=\deg(R_{[2]})=3\) (car \(R\) est unitaire) et \(\deg(S)=\deg(S_{[2]})=3\). Cependant, la réduction modulo \(3\) de \(Q\) n’admet pas de factorisation suivant deux polynômes de degré 3. C’est une contradiction : on en déduit que \(Q\) n’a pas de factorisation non triviale.

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