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Montrer l’existence de $f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k$ pour $z\in\C$, $|z|<1$.

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{k=1}^{\infty} kA^k$ converge si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont de module strictement inférieur à $1$.

La somme $S = \sum_{k=1}^\infty kA^k$ est-elle inversible ?