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Pour $|x| < 1$ on pose : $Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n$.

Montrer que $Z$ vérifie l’équation différentielle : $2xZ'(x) - 2Z^2(x) + Z(x) = 3x\zeta(2)$ (écrire $Z(x)$ comme somme d’une série double, intervertir les sommations, remplacer et … simplifier).

En déduire la relation de récurrence : $\forall\ n\ge 2,\ (n+\frac12)\zeta(2n) = \sum_{p=1}^{n-1}\zeta(2p)\zeta(2n-2p)$.