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On considère la série entière :

S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n

\question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$ , $\frac{n}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$ . } \reponse{Il suffit de voir que $\frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$ .}
\question{ Déterminer le domaine de convergence $I$ de cette série entière. } \reponse{ On pose $u_n(x) = \frac{n}{n+2}x^n$ . On utilise le théorème de d'Alembert : $$\begin{align*} \frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \frac{ (n+2)(n+1) }{n(n+3)}\frac{|x^{n+1}|}{|x^{n}|}
& \sim \frac{n^2}{n^2} |x|
&\xrightarrow[n\to+\infty]{} |x| \end{align*}$$ Donc le rayon de convergence est $R=1$.} De plus, il $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n(1) = 1$ et $(u_n(-1))$ n'a pas de limite donc la série est grossièrement divergente pour $x=1$ et $x=-1$. Par conséquent, le domaine de convergence est $I = ]-1;1[$.

Vérifier que : $\forall n \in \N$ , $\frac{n}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$ .

Déterminer le domaine de convergence $I$ de cette série entière.

Calculer la valeur de $\displaystyle x^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n+2}$ pour tout $x \in I$ .

En déduire le calcul de la somme $S(x)$ pour tout $x \in I$ .

Domaine de convergence et somme d'une série sentière