On considère la série entière :
$$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n$$
- \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, $ \frac{n}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$. } \reponse{Il suffit de voir que $\frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2} $.}
- \question{ Déterminer le domaine de convergence $I$ de cette série entière. }
\reponse{ On pose $u_n(x) = \frac{n}{n+2}x^n$. On utilise le théorème de d'Alembert :
$$\begin{align*}
\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|} &= \frac{ (n+2)(n+1) }{n(n+3)}\frac{|x^{n+1}|}{|x^{n}|}
& \sim \frac{n^2}{n^2} |x|
&\xrightarrow[n\to+\infty]{} |x| \end{align*}$$ Donc le rayon de convergence est $R=1$.} De plus, il $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n(1) = 1$ et $(u_n(-1))$ n'a pas de limite donc la série est grossièrement divergente pour $x=1$ et $x=-1$. Par conséquent, le domaine de convergence est $I = ]-1;1[$.
1
Vérifier que : \(\forall n \in \N\), \(\frac{n}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}\).
2
Déterminer le domaine de convergence \(I\) de cette série entière.
3
Calculer la valeur de \(\displaystyle x^2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n+2}\) pour tout \(x \in I\).
4
En déduire le calcul de la somme \(S(x)\) pour tout \(x \in I\).