Si $f$ est simplement supposée continue par morceaux, on ne peut donc plus effectuer une intégration par parties.

Le résultat est clair si $f=1$ , car pour $\lambda>0$ , $\left|\int_{a}^{b}\sin(\lambda t)\;dt\right|=...\leq\frac{2}{\lambda}$ .

Le résultat s’étend aux fonctions constantes par linéarité de l’intégrale puis aux fonctions constantes par morceaux par additivité par rapport à l’intervalle d’intégration, c’est-à-dire aux fonctions en escaliers.

Soit alors $f$ une fonction continue par morceaux sur $[a,b]$ .

Soit $[a,b]$ . On sait qu’il existe une fonction en escaliers $g$ sur $[a,b]$ telle que $\forall x\in[a,b],\;|f(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ .

Pour $\lambda>0$ , on a alors

$\begin{align*}\ensuremath \left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|&=\left|\int_{a}^{b}(f(t)-g(t))\sin(\lambda t)\;dt+\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|\\ &\leq\int_{a}^{b}|f(t)-g(t)|\;dt+\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|\leq(b-a)\frac{\varepsilon}{2(b-a)}+\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|\\ &=\frac{\varepsilon}{2}+\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|. \end{align*}$

Maintenant, le résultat étant établi pour les fonctions en esacliers,

$\exists A>0/\;\forall\lambda\in\Rr,\; (\lambda>A\Rightarrow\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|<\frac{\varepsilon}{2}).$

Pour $\lambda>A$ , on a alors $\left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ . On a montré que

$\forall\varepsilon>0,\exists A>0/\;\forall\lambda\in\Rr,\;(\lambda>A\Rightarrow\left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|<\varepsilon),$

et donc que $\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt$ tend vers $0$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$ .

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