Si \(f\) est simplement supposée continue par morceaux, on ne peut donc plus effectuer une intégration par parties.

Le résultat est clair si \(f=1\), car pour \(\lambda>0\), \(\left|\int_{a}^{b}\sin(\lambda t)\;dt\right|=...\leq\frac{2}{\lambda}\).

Le résultat s’étend aux fonctions constantes par linéarité de l’intégrale puis aux fonctions constantes par morceaux par additivité par rapport à l’intervalle d’intégration, c’est-à-dire aux fonctions en escaliers.

Soit alors \(f\) une fonction continue par morceaux sur \([a,b]\).

Soit \(\varepsilon>0\). On sait qu’il existe une fonction en escaliers \(g\) sur \([a,b]\) telle que \(\forall x\in[a,b],\;|f(x)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\).

Pour \(\lambda>0\), on a alors

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|&=\left|\int_{a}^{b}(f(t)-g(t))\sin(\lambda t)\;dt+\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|\\ &\leq\int_{a}^{b}|f(t)-g(t)|\;dt+\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|\leq(b-a)\frac{\varepsilon}{2(b-a)}+\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|\\ &=\frac{\varepsilon}{2}+\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|. \end{align*}\]

Maintenant, le résultat étant établi pour les fonctions en esacliers,

\[\exists A>0/\;\forall\lambda\in\Rr,\; (\lambda>A\Rightarrow\left|\int_{a}^{b}g(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|<\frac{\varepsilon}{2}).\]

Pour \(\lambda>A\), on a alors \(\left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\). On a montré que

\[\forall\varepsilon>0,\exists A>0/\;\forall\lambda\in\Rr,\;(\lambda>A\Rightarrow\left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\right|<\varepsilon),\]

et donc que \(\int_{a}^{b}f(t)\sin(\lambda t)\;dt\) tend vers \(0\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

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