La fonction $f(z) = 1/(z-a)(z-b)(z-c)$ est holomorphe dans le disque $D(0,a)$ . Par conséquent l’intégrale est nulle si $r<a$ . Par le théorème des résidus, $\begin{aligned} \frac{1}{2i\pi}\int_C \frac{1}{(z-a)(z-b)(z-c)} dz &= &\mathrm{Res} (f,a) \quad , \quad \mathrm{Res} (f,a)+\mathrm{Res} (f,b) \quad ou \\ && \mathrm{Res} (f,a)+\mathrm{Res} (f,b)+\mathrm{Res} (f,c) \end{aligned}$ si $a<r<b$ , $b<r<c$ ou $c<r$ . Le calcul de ces résidus se fait par la formule de l’exercice [ex:burnol6.1] puisque tous les pôles sont simples: $\begin{aligned} \mathrm{Res} (f,a) =\frac{1}{(a-b)(a-c)} \quad , \quad \mathrm{Res} (f,b)=\frac{1}{(b-a)(b-c)} \\ et \quad \mathrm{Res} (f,c)=\frac{1}{(c-a)(c-b)}. \end{aligned}$ On en déduit façilement la valeur de l’intégrale dans les trois cas. En ce qui concerne le calcul de cette intégrale via la décomposition en éléments simples remarquons juste que $\int _C \frac{1}{z-d} \, dz$ vaut $2i\pi$ si $d$ est à l’intérieur de $C$ et $0$ si $d$ est à l’extérieur.

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