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Soit $d_1$ et $d_2$ deux distances sur un espace $X$. Montrer qu’elles sont uniformément équivalentes si et seulement si $(X,d_1)$ et $(X,d_2)$ ont les mêmes applications réelles uniformément continues.

Indication : Raisonner par contraposition et considérer pour $(x_n)$ et $(y_n)$ vérifiant $\lim d_1(x_n,y_n)=0$ et $d_2(x_n,y_n)\geq\varepsilon$, $A=\overline{\{x_1,x_2,...\}}$, $B=\overline{\{y_1,y_2,...\}}$ dans $(X,d_2)$, et $$f(x)={{d_2(x,A)}\over{d_2(x,A)+d_2(x,B)}}$$