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Soit \(d_1\) et \(d_2\) deux distances sur un espace \(X\). Montrer qu’elles sont uniformément équivalentes si et seulement si \((X,d_1)\) et \((X,d_2)\) ont les mêmes applications réelles uniformément continues.
Indication : Raisonner par contraposition et considérer pour \((x_n)\) et \((y_n)\) vérifiant \(\lim d_1(x_n,y_n)=0\) et \(d_2(x_n,y_n)\geq\varepsilon\), \(A=\overline{\{x_1,x_2,...\}}\), \(B=\overline{\{y_1,y_2,...\}}\) dans \((X,d_2)\), et \[f(x)={{d_2(x,A)}\over{d_2(x,A)+d_2(x,B)}}\]