(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace \(D = \{\,(x,y,z)\in \Rr^3 \mid z<1\,\}\), le plan \(P = \{\,(x,y,z)\in \Rr^3 \mid z=0\,\}\), la sphère unité \(S^2 = \{\, (x,y,z) \in \Rr^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0\,\}\), et le pole nord \(N = (0,0,1)\).
On définit une application \(p: D \to P\) par la procédure suivante : pour un point \(A \in D\), la droite dans \(\Rr^3\) qui passe par \(A\) et \(N\) coupe le plan \(P\) en \(p(A)\). Trouver l’expression explicite de l’application \(p\) et en déduire qu’elle est continue.
On définit une application \(i : P \to S^2\) par la procédure suivante : pour \(B\in P\), la droite dans \(\Rr^3\) qui passe par \(B\) et \(N\) coupe la sphère unité \(S^2\) en \(i(B)\). Trouver l’expression explicite de l’application \(i\) et en déduire qu’elle est continue.
En utilisant les applications \(p\) et \(i\), montrer que \(P\) est homéomorphe à \(S^2 \setminus \{N\}\).
Montrer que \(S^2\) est compacte.