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(D’abord un cas particulier) Dans $\Rr^3$ on considère les objets suivants : le demi-espace $D = \{\,(x,y,z)\in \Rr^3 \mid z<1\,\}$, le plan $P = \{\,(x,y,z)\in \Rr^3 \mid z=0\,\}$, la sphère unité $S^2 = \{\, (x,y,z) \in \Rr^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0\,\}$, et le pole nord $N = (0,0,1)$.

On définit une application $p: D \to P$ par la procédure suivante : pour un point $A \in D$, la droite dans $\Rr^3$ qui passe par $A$ et $N$ coupe le plan $P$ en $p(A)$. Trouver l’expression explicite de l’application $p$ et en déduire qu’elle est continue.

On définit une application $i : P \to S^2$ par la procédure suivante : pour $B\in P$, la droite dans $\Rr^3$ qui passe par $B$ et $N$ coupe la sphère unité $S^2$ en $i(B)$. Trouver l’expression explicite de l’application $i$ et en déduire qu’elle est continue.

En utilisant les applications $p$ et $i$, montrer que $P$ est homéomorphe à $S^2 \setminus \{N\}$.

Montrer que $S^2$ est compacte.