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Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans \(\Rr\), qui converge simplement vers une fonction \(f\) continue. Montrer que la convergence est uniforme sur \([0,1]\). Indication : \(\varepsilon >0\) étant fixé, montrer qu’il existe \(0=x_0<x_1<\cdots<x_k=1\) tels que \(f(x_{j+1})-f(x_j)\leq\varepsilon, \ 1\leq j\leq k-1\) et établir \(|f(x)-f_n(x)|\leq\sup_j|f_n(x_j)-f(x_j)|+\varepsilon\).