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Soit $f:X\to Y$, espaces topologiques. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est continue.

(ii) $\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)$ pour toute partie $B$ de $Y$.

(iii) ${f^{-1}(\stackrel\circ B)}\subset \stackrel\circ{f^{-1}( B)}$ pour toute partie $B$ de $Y$.

En déduire $\partial f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\partial B)$ pour toute partie $B$ de $Y$.