\(\Rightarrow\). Soit \(f\) continue et \(y\in f(\bar A)\). Il existe \(x\in \bar A\) tel que \(y=f(x)\). Soit \(x_n \in A\) tel que \((x_n)\) converge vers \(x\). Alors \(y_n=f(x_n)\in A\). Comme \(f\) est continue alors \((y_n)\) converge vers \(f(x)=y\). Donc \(y\) est adhérent à \(f(A)\). Conclusion \(f(\bar A) \subset \overline{f(A)}\).

\(\Leftarrow\). Soit \(f : X \rightarrow Y\) et soit \(F\) un fermé de \(Y\). Notons \(A = f^{-1}(F)\). Alors \(f(A) \subset F\) donc l’équation \(f(\bar A) \subset \overline{f(A)}\) devient \(f(\bar A) \subset \bar F = F\) car \(F\) est fermé. Donc \(\bar A \subset f^{-1}(F)=A\). Donc \(\bar A \subset A\), d’où \(\bar A=A\). Donc \(A\) est fermé. Bilan l’image réciproque de tout fermé \(F\) est un fermé, donc \(f\) est continue.

Application : si \(A\) est dense, alors \(\bar A= X\), et sous les hypothèses précédentes alors \(f(A)\) est dense dans l’image de \(X\) par \(f\) : en effet \(\overline{f(A)}\) contient \(f(\bar A) = f(X)\)

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