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Montrer que si $X$ n’est pas complet, il existe une suite de Cauchy $(a_n)$, non convergente, et telle que $a_p\neq a_q$ pour $p\neq q$.

Soit $(b_n)$ une suite de Cauchy non convergente; montrer que l’ensemble $B=\{b_n,\ n\in\Nn\}$ est fermé dans $X$.

Déduire des questions précédentes que si $X$ n’est pas complet, on peut trouver une fonction continue $f:X\to [0,1]$ qui n’est pas uniformément continue.

Indication : Si $(a_n)$ est définie par 1., construire $f:X\to [0,1]$ telle que $f(a_{2n})=0$ et $f(a_{2n+1})=1$.