Soit \(X\) un espace métrique.
1
Montrer que si \(X\) n’est pas complet, il existe une suite de Cauchy \((a_n)\), non convergente, et telle que \(a_p\neq a_q\) pour \(p\neq q\).
2
Soit \((b_n)\) une suite de Cauchy non convergente; montrer que l’ensemble \(B=\{b_n,\ n\in\Nn\}\) est fermé dans \(X\).
3
Déduire des questions précédentes que si \(X\) n’est pas complet, on peut trouver une fonction continue \(f:X\to [0,1]\) qui n’est pas uniformément continue.
Indication : Si \((a_n)\) est définie par 1., construire \(f:X\to [0,1]\) telle que \(f(a_{2n})=0\) et \(f(a_{2n+1})=1\).