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$d_A$ est $1$-lipschitzienne, et $d_A(x)=0$ si et seulement si $x\in\overline A$. On en déduit que tout fermé est un $G_\delta$ et que tout ouvert est un $F_\sigma$.

Montrer qu’un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints $F_1$ et $F_2$ peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant $\{x/ d(x,F_1)>d(x,F_2) \}$.

Montrer que la propriété précédente est équivalente à l’existence d’une fonction continue $f$ valant $0$ sur $F_1$ et $1$ sur $F_2$.

Soit $F_1$, $F_2$,...,$F_n$, $n$ fermés disjoints dans $X$, et $c_1$, $c_2$,...$c_n$, $n$ nombres réels. Montrer que la fonction $f$ valant $c_i$ sur $F_i$ peut se prolonger en une fonction continue à $X$ tout entier.