Soit \((X,d)\) un espace métrique; on rappelle tout d’abord les propriétés de la fonction \(d_A : x\to d(x,A)\) où \(A\) est une partie de \(X\) :
\(d_A\) est \(1\)-lipschitzienne, et \(d_A(x)=0\) si et seulement si \(x\in\overline A\). On en déduit que tout fermé est un \(G_\delta\) et que tout ouvert est un \(F_\sigma\).
Montrer qu’un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints \(F_1\) et \(F_2\) peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant \(\{x/ d(x,F_1)>d(x,F_2) \}\).
Montrer que la propriété précédente est équivalente à l’existence d’une fonction continue \(f\) valant \(0\) sur \(F_1\) et \(1\) sur \(F_2\).
Soit \(F_1\), \(F_2\),...,\(F_n\), \(n\) fermés disjoints dans \(X\), et \(c_1\), \(c_2\),...\(c_n\), \(n\) nombres réels. Montrer que la fonction \(f\) valant \(c_i\) sur \(F_i\) peut se prolonger en une fonction continue à \(X\) tout entier.