Supposons que $f$ ne tende pas vers $0$ . Soit $\epsilon >0$ fixé. Pour tout $n\geq 0$ , il existe $x_n \geq n$ tel que $|f(x_n)|>\epsilon$ . Sans perte de généralité nous supposons $f(x_n)>\epsilon$ . Appliquons l’uniforme continuité : soit $\epsilon' = \frac \epsilon 2$ , Il existe $\eta$ tel que pour $|x_n-y|\le \eta$ on ait $|f(x_ n)-f(y)| < \epsilon'$ . Donc pour un tel $y$ , $f(y) > \frac \epsilon 2 >0$ . Donc $f$ est strictement positive sur $[x_n-\eta,x_n+\eta]$ . Notons alors $(p_n)$ définie par $p_{2n} = x_{n}-\eta$ , $p_{2n+1} = x_{n}+\eta$ . Soit $I(x) = \int_0^x f$ . Alors $I(p_{2n+1})- I(p_{2n}) = \int_{x_n-\eta}^{x_n+\eta} f(t) dt \geq \frac \epsilon 2 \cdot 2\eta = \epsilon \eta$ . Donc la suite $(I(p_n))$ n’est pas de une suite de Cauchy, donc ne converge pas, donc la fonction $x\mapsto I(x)$ ne converge pas non plus, et donc $\int_0^\infty f(t) dt$ diverge. Par le changement de variable $u=t^2$ puis une intégration par partie, on montre que l’intégrale $\int_0^\infty \sin(t^2) dt$ converge, mais comme $f(x)= \sin(x^2)$ ne tend pas vers $0$ alors $f$ n’est pas uniformément continue sur $\Rr$ .

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