Supposons que \(f\) ne tende pas vers \(0\). Soit \(\epsilon >0\) fixé. Pour tout \(n\geq 0\), il existe \(x_n \geq n\) tel que \(|f(x_n)|>\epsilon\). Sans perte de généralité nous supposons \(f(x_n)>\epsilon\). Appliquons l’uniforme continuité : soit \(\epsilon' = \frac \epsilon 2\), Il existe \(\eta\) tel que pour \(|x_n-y|\le \eta\) on ait \(|f(x_ n)-f(y)| < \epsilon'\). Donc pour un tel \(y\), \(f(y) > \frac \epsilon 2 >0\). Donc \(f\) est strictement positive sur \([x_n-\eta,x_n+\eta]\). Notons alors \((p_n)\) définie par \(p_{2n} = x_{n}-\eta\), \(p_{2n+1} = x_{n}+\eta\). Soit \(I(x) = \int_0^x f\). Alors \(I(p_{2n+1})- I(p_{2n}) = \int_{x_n-\eta}^{x_n+\eta} f(t) dt \geq \frac \epsilon 2 \cdot 2\eta = \epsilon \eta\). Donc la suite \((I(p_n))\) n’est pas de une suite de Cauchy, donc ne converge pas, donc la fonction \(x\mapsto I(x)\) ne converge pas non plus, et donc \(\int_0^\infty f(t) dt\) diverge. Par le changement de variable \(u=t^2\) puis une intégration par partie, on montre que l’intégrale \(\int_0^\infty \sin(t^2) dt\) converge, mais comme \(f(x)= \sin(x^2)\) ne tend pas vers \(0\) alors \(f\) n’est pas uniformément continue sur \(\Rr\).

exo7 2360