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Montrer que la fonction $\varphi$ est continue, $1$-périodique, et étudier la fonction $f$ telle que $$f(x)=\sum_n {\varphi(2^n x)\over{2^n}}.$$

On fixe $x_0\in \Rr$, et on considère les deux suites de terme $$z_k={1\over 2^k}E(2^kx_0),\ \ \ y_k=z_k+{1\over 2^k}.$$ Montrer que la suite $(z_k)$ croı̂t vers $x_0$ et que la suite $(y_k)$ décroı̂t vers $x_0$. Calculer ${f(z_k)-f(y_k)\over z_k-y_k}$ et en déduire que $f$ n’est pas dérivable en $x_0$.

On a ainsi construit une fonction continue, nulle part dérivable.