On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
1
Montrer que la fonction \(\varphi\) est continue, \(1\)-périodique, et étudier la fonction \(f\) telle que \[f(x)=\sum_n {\varphi(2^n x)\over{2^n}}.\]
2
On fixe \(x_0\in \Rr\), et on considère les deux suites de terme \[z_k={1\over 2^k}E(2^kx_0),\ \ \ y_k=z_k+{1\over 2^k}.\] Montrer que la suite \((z_k)\) croı̂t vers \(x_0\) et que la suite \((y_k)\) décroı̂t vers \(x_0\). Calculer \({f(z_k)-f(y_k)\over z_k-y_k}\) et en déduire que \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\).
On a ainsi construit une fonction continue, nulle part dérivable.