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Soit $f$ une fonction réelle continue sur $[0,1]$; montrer que $f$ est “presque lipschitzienne” au sens :

$\forall\varepsilon>0 \ \exists C_\varepsilon\ ;\ \forall x,y \in [0,1]\quad \ |f(x)-f(y)|\leq C_\varepsilon|x-y| + \varepsilon.$

Montrer qu’une fonction $f$ uniformément continue de $\Rr$ dans $\Rr$ vérifie pour tout $x\in\Rr$, $\vert f(x)\vert\leq a\vert x\vert+b$ où $a$ et $b$ sont des constantes.