L3 Topologie Continuité, uniforme continuité 3 questions

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Soit (X,d)(X,d) un espace métrique, et YY un sous-espace non vide de XX. On va montrer que toute fonction f:Y→Rf:Y\to \Rr, kk-lipschitzienne, admet un prolongement g:X→Rg:X\to\Rr qui est aussi kk-lipschitzien. Soit donc ff ainsi; pour tout x∈Xx\in X et y∈Yy\in Y , on pose fy(x)=f(y)+kd(x,y).f_y(x)=f(y)+kd(x,y).

1

Montrer que pour xx fixé, l’ensemble {fy(x)}\{f_y(x)\} lorsque yy parcourt YY est minoré. On pose g(x)=inf⁡y∈Y{fy(x)}g(x) = \inf_{y\in Y}\{f_y(x)\}.

2

Montrer que l’application gg ainsi définie sur XX, réalise un prolongement kk-lipschitzien de ff.

3

Donner une condition suffisante pour que ce prolongement soit unique.

Exercice BiIF

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