Soit \((X,d)\) un espace métrique, et \(Y\) un sous-espace non vide de \(X\). On va montrer que toute fonction \(f:Y\to \Rr\), \(k\)-lipschitzienne, admet un prolongement \(g:X\to\Rr\) qui est aussi \(k\)-lipschitzien. Soit donc \(f\) ainsi; pour tout \(x\in X\) et \(y\in Y\) , on pose \[f_y(x)=f(y)+kd(x,y).\]
1
Montrer que pour \(x\) fixé, l’ensemble \(\{f_y(x)\}\) lorsque \(y\) parcourt \(Y\) est minoré. On pose \(g(x) = \inf_{y\in Y}\{f_y(x)\}\).
2
Montrer que l’application \(g\) ainsi définie sur \(X\), réalise un prolongement \(k\)-lipschitzien de \(f\).
3
Donner une condition suffisante pour que ce prolongement soit unique.