Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) et \(\omega\) sa fonction oscillation définie pour \(x_0\in \R\) et \(\delta>0\) par \[\omega(x_0,\delta)=\sup_{\{|x_0-y|=\delta,|x_0-z|=\delta\}}|f(y)-f(z)|.\]
1
Remarquer que \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si \[\omega(x_0)=\inf_{\delta>0}\omega(x_0,\delta)=0.\]
2
Montrer que pour tout \(\varepsilon >0\), \(O_\varepsilon=\{x\ ;\ \omega(x)<\varepsilon\}\) est un ouvert.
En déduire que \(C(f)\), l’ensemble des points de continuité de \(f\), est un \(G_\delta\).