L3 Topologie Continuité, uniforme continuité Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 6069

Soit ff une application de R\R dans R\R et ω\omega sa fonction oscillation définie pour x0∈Rx_0\in \R et δ>0\delta>0 par ω(x0,δ)=sup⁡{∣x0−y∣=δ,∣x0−z∣=δ}∣f(y)−f(z)∣.\omega(x_0,\delta)=\sup_{\{|x_0-y|=\delta,|x_0-z|=\delta\}}|f(y)-f(z)|.

1

Remarquer que ff est continue en x0x_0 si et seulement si ω(x0)=inf⁡δ>0ω(x0,δ)=0.\omega(x_0)=\inf_{\delta>0}\omega(x_0,\delta)=0.

2

Montrer que pour tout ε>0\varepsilon >0, Oε={x ; ω(x)<ε}O_\varepsilon=\{x\ ;\ \omega(x)<\varepsilon\} est un ouvert.

En déduire que C(f)C(f), l’ensemble des points de continuité de ff, est un GδG_\delta.

Exercice lhCW

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