Soit \(S^{n-1}=\{x=(x_1,\cdots,x_n)\in {\Rr}^n/ \ \Vert x\Vert^2=\sum_1^nx_i^2=1\}\), la sphère unité de \({\Rr}^n\), \(p\) son pôle nord i.e. le point \(p=(0,\cdots,0,1)\), et \(A=S^{n-1}\backslash \{p\}\).
1
Montrer que le “plan" de l’équateur \(E\) est homéomorphe à \({\Rr}^{n-1}\).
2
A tout point \(x\) de \(A\) on associe \(h(x)\) le point d’intersection de la droite issue de \(p\) passant par ce point, avec le plan \(E\). Expliciter \(h\), puis \(h^{-1}\) et montrer ainsi que la sphère est homéomorphe à \({\Rr}^{n-1}\).
(On établira \(h(x)=p +{{x-p}\over{1-x_n}}\) et \(h^{-1}(y)={{2y}\over{1+\Vert y\Vert^2}} + p\ {{1-\Vert y\Vert^2}\over{1+\Vert y\Vert^2}}\)).
3
En déduire un homéomorphisme de \(\mathbb{S}^1\) sur \(\overline{\Rr}\).