OpenYourMath

Soit $S^{n-1}=\{x=(x_1,\cdots,x_n)\in {\Rr}^n/ \ \Vert x\Vert^2=\sum_1^nx_i^2=1\}$ , la sphère unité de ${\Rr}^n$ , $p$ son pôle nord i.e. le point $p=(0,\cdots,0,1)$ , et $A=S^{n-1}\backslash \{p\}$ .

Montrer que le “plan" de l’équateur $E$ est homéomorphe à ${\Rr}^{n-1}$ .

A tout point $x$ de $A$ on associe $h(x)$ le point d’intersection de la droite issue de $p$ passant par ce point, avec le plan $E$ . Expliciter $h$ , puis $h^{-1}$ et montrer ainsi que la sphère est homéomorphe à ${\Rr}^{n-1}$ .

(On établira $h(x)=p +{{x-p}\over{1-x_n}}$ et $h^{-1}(y)={{2y}\over{1+\Vert y\Vert^2}} + p\ {{1-\Vert y\Vert^2}\over{1+\Vert y\Vert^2}}$ ).

En déduire un homéomorphisme de $\mathbb{S}^1$ sur $\overline{\Rr}$ .

exo7 6123

Signaler une erreur