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Montrer que $f$ est continue si et seulement si pour tout $\lambda\in \Rr$, les ensembles $\{x\ ;\ f(x)<\lambda\}$ et $\{x\ ;\ f(x)>\lambda\}$ sont des ouverts de $X$.

Montrer que si $f$ est continue, pour tout $\omega$ ouvert de $\Rr$, $f^{-1}(\omega)$ est un $F_\sigma$ ouvert de $X$ ($F_\sigma$= réunion dénombrable de fermés).