Soit \(X\) un espace topologique et \(f:X\to \Rr\).
1
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si pour tout \(\lambda\in \Rr\), les ensembles \(\{x\ ;\ f(x)<\lambda\}\) et \(\{x\ ;\ f(x)>\lambda\}\) sont des ouverts de \(X\).
2
Montrer que si \(f\) est continue, pour tout \(\omega\) ouvert de \(\Rr\), \(f^{-1}(\omega)\) est un \(F_\sigma\) ouvert de \(X\) (\(F_\sigma\)= réunion dénombrable de fermés).