Soit \((E,d)\) un espace métrique et \(A\) une partie de \(E\); retrouver les propriétés de la fonction \(d_A : x\to d(x,A)\) :
1
\(d_A\) est \(1\)-lipschitzienne; \(d(x,A)=d(x,\overline A)\) et \(d_A(x)=0\) si et seulement si \(x\in\overline A\).
2
Montrer que \(\{x\in E\ ; \ d(x, A)< \varepsilon\}\) est un ouvert contenant \(A\).
3
Montrer que tout fermé de \(E\) est un \(G_\delta\) et que tout ouvert est un \(F_\sigma\).